Tämä luentomateriaali on tarkoitettu syksyn 2016 kurssille
Calculus 2
(matematiikan perusopinnot, 5 op). Materiaali on vielä keskeneräistä ja täydentyy kurssin aikana. Ilmoitathan löytämistäsi virheistä luennoitsijalle!
Merkintä [A, x.y] viittaa kirjan
[A] Adams, Robert A. Calculus: a complete course, 8. painos, Pearson 2013
luvun x kappaleeseen y.
+Katso kurssiin liittyvät käytännön asiat (suorittaminen, aikataulut) kurssin kotisivulta. Linkki kotisivulle löytyy Korpista.
ENDRAWTEX
Käänteisfunktio
Yleistä kurssista ja transkendenttifunktioista
Injektio
Käänteisfunktio
Määrittelyjoukon rajoittaminen
Käänteisfunktion derivointi
[A, 3.1]
Transkendenttifunktioista ja kurssin sisällöstä hiukan
Algebrallisia funktioita ovat
polynomit
rationaalifunktiot
juurifunktiot ()
sekä näiden yhdistelmät, esim.
Funktioita, jotka eivät ole algebrallisia, kutsutaan transkendenttisiksi funktioiksi, esim.
trigonometriset funktiot
Tällä kurssilla tavataan lisää transkendenttisia funktioita, lähinnä
(yleinen) eksponenttifunktio ja
(yleinen) logaritmifunktio
näissä kantaluku on vakio (mikä vain; "funktioperhe")
esim. ,
sekä lisäksi erikoistapaukset
eksponenttifunktio ja
(luonnollinen) logaritmifunktio (joskus merkitään myös )
näissä kantalukuna on Neperin luku
ynnä vielä näistä saatavia johdannaisia
hyperboliset ja areahyperboliset funktiot (myöhemmin)
ja vielä lisäksi trigonometrisiin funktioihin liittyvät
arkusfunktiot (myöhemmin)
Kaikkia edellämainittuja kutsutaan alkeisfunktioiksi
"niillä on lauseke"
+Kurssin lopulla opitaan integrointi, jonka avulla voidaan määritellä lisää funktioita
+Seuraavalla kurssilla (Calculus 3) opitaan laskemaan "äärettömiä summia", joiden avulla voidaan määritellä vielä lisää funktioita, jotka eivät ole alkeisfunktioita
+Differentiaaliyhtälöiden kurssilla...
Injektio
Lämmittelytehtävä
Mihin potenssiin luku pitää korottaa, jotta saadaan luku ?
Eli ratkaise yhtälö
Ratkaise yhtälöt
Ratkaise yhtälöt
Ratkaise yhtälöt
Mieti: milloin sait yhden ratkaisun, milloin useamman?
Injektio
"Jos funktio saa saman arvon vain kerran, sitä sanotaan injektioksi."
Tarkemmin:
Sanomme, että funktio on injektio, jos eli jos kaikilla on voimassa
Kuvana:
funktio on injektio, joss se ei leikkaa mitään vaakasuoraa suoraa kuin kerran.
Engl. "one-to-one", "injective"
Yhteys monotonisuuteen:
jos on aidosti monotoninen, se on injektio.
Huom: injektiivisyys ei takaa monotonisuutta, ellei ole jatkuva.
Yhteys derivaattaan: jos on derivoituva ja
kaikkialla, niin on aidosti kasvava ja siten injektio
kaikkialla, niin on aidosti vähenevä ja siten injektio
Huom: yksittäisissä pisteissä ei haittaa
Huom: injektiivisyys ei takaa jatkuvuutta eikä jatkuvuus injektiivisyyttä!
(Jatkuvuus, monotonisuus ja derivaatta: ks. Calculus 1, luvut 7, 11 ja 9.)
Tällä kurssilla tämä riittää, myöhemmillä kursseilla tarkemmin.
Pitäisi osoittaa jatkuvuus, derivoituvuus, ...
Tällä kurssilla uskotaan ominaisuudet ja käytetään niitä.
Samalla tavalla määritellään mille tahansa .
Mieti: mitä ongelmia aiheuttaisi negatiivinen kantaluku?
Ominaisuuksia
Laskusäännöt
Kun , niin
Samat laskusäännöt kuin kokonaislukupotensseille!
Lisäksi, kun myös , on
kuten kokonaislukupotensseille
Huomaa, että kaikki eksponenttifunktiot saavat nollassa arvon 1 (koska ).
Monotonisuus
Miten vakio vaikuttaa?
Jos , niin on aidosti kasvava
esim.
Jos , niin on aidosti vähenevä
esim.
vrt. peilaus,
Jos , niin kaikilla .
Positiivisuus
Kun , on
Raja-arvot
Kun ,
Kun ,
Siis jos , kuvaajalla on vaakasuora asymptootti .
Jatkuvuus ja derivoituvuus
Kun , eksponenttifunktio on
kaikkialla jatkuva funktio ja
kaikkialla derivoituva funktio (derivointi myöhemmin).
Yhteenveto
Emme todista yllä mainittuja ominaisuuksia tällä kurssilla, käytämme vain.
Eksponenttifunktio on siis
määritelty kaikilla ja
saa kaikki arvot väliltä eikä muita, eli sen
määrittelyjoukko on ja
arvojoukko on .
Yleinen logaritmifunktio
Kun funktio on aidosti monotoninen, sillä on käänteisfunktio, jolle annamme nimen -kantainen logaritmi(funktio) ja merkinnän .
Määritelmä
Kun ja , eli "se potenssi, johon kantaluku pitää korottaa, jotta saadaan ".
Toisin sanoen
Ominaisuuksia
Kun , on funktion
määrittelyjoukko ja
arvojoukko .
Siksi funktion
määrittelyjoukko on ja
arvojoukko on koko .
Kumoutuminen: ja
Laskusäännöt
Kun ja ,
Nämä seuraavat suoraan potenssien laskusäännöistä:
merkitse , jolloin ja esim. eli . Osoita itse loput (HT).
Lisäksi, kun myös ,
(vastaavalla tavalla, HT).
Tämän avulla esim. laskimesta
Huom: joissakin laskimissa käytetään -kantaisesta logaritmista merkintää tai jopa ; tällä kurssilla on muussa käytössä.
Monotonisuus
Kuten eksponenttifunktio, myös logaritmi on aidosti monotoninen:
Jos , niin on aidosti kasvava
Jos , niin on aidosti vähenevä
piirrä samaan kuvaan ja (tai vaikkapa ja )
Raja-arvot
Kun ,
Kun ,
Siis kuvaajalla on pystysuora asymptootti .
Jatkuvuus ja derivoituvuus
Kun ja , logaritmifunktio on koko määrittelyjoukossaan jatkuva ja derivoituva funktio (derivointi myöhemmin).
Neperin luku ja eksponenttifunktio
Neperin luku
Määritelmiä useita, esim.
Ei todisteta suppenemista tällä kurssilla.
Likiarvo
Käyttö kantalukuna:
Eksponenttifunktio
Tärkein eksponenttifunktio (ja eniten käytetty)
Kaikki edellä mainitut eksponenttifunktion ominaisuudet (kantaluku )
Lisäksi
Siksi tärkeä! Ainoa funktio, joka on itse itsensä derivaatta!
Vakiokerrointa vaille ainoa... (eli toki esim. )
Luonnollinen logaritmi
Eksponenttifunktion käänteisfunktio on -kantainen logaritmi, jota kutsutaan myös luonnolliseksi logaritmiksi ja merkitään
Huom:
merkintä on siis varattu luonnolliselle logaritmille (tällä kurssilla ja usein matemaattisissa teksteissä).
joissakin laskimissa samaa merkintä tarkoittaa jotakin muuta, usein 10-kantaista logaritmia
Kertauksena aiemmasta (nyt siis kantaluku ): sekä Raja-arvot, laskusäännöt ym. ominaisuudet kuten edellä kantaluvulle .
Eksponenttifunktioiden derivointi
-kantaiselle siis
muille eksponenttifunktioille ()
Logaritmifunktioiden derivointi
Luonnolliselle logaritmille on (Voidaan perustella esim. käänteisfunktion derivointikaavan avulla, kun tiedetään, että .)
Muille logaritmeille saadaan
Ohjeita:
Vain luonnollisen logaritmin ja eksponenttifunktion derivointisäännöt kannattaa muistaa, muut voi aina johtaa kuten yllä.
Harjoittele logaritmien laskusääntöjen käyttöä - ja mieti, miten voit johtaa/varmistaa ne tutuista potenssien laskusäännöistä.
Eksponentiaalinen/logaritminen kasvu
kasvaa nopeasti, kasvaa hitaasti, kun
potenssifunktiot "siltä väliltä"
Tarkemmin:
kun ,
eli "eksponenttifunktio voittaa potenssifunktion";
eli "potenssi voittaa logaritmin"
Eksponentiaalisen kasvun/vähenemisen malleja (eli , ja vakioita) käytetään paljon niin luonnontieteessä kuin taloustieteessä ja teknisillä aloilla, esim.
radioaktiivinen hajoaminen
rajoittamaton populaation kasvu
jatkuva korko
Idea: "kasvu/väheneminen on verrannollinen kokoon"
mitä enemmän jo on, sitä nopeammin määrä kasvaa (tai vähenee)
Differentiaaliyhtälönä:
( vakio)
Jatkuva korko
Esimerkki:
Jos tilille maksetaan 5% vuotuista korkoa ja korko lisätään pääomaan vuosittain, kolmen vuoden jälkeen tilillä on missä on alkupääoma.
Jos sama 5% vuotuinen korko lisätäänkin pääomaan kuukausittain (eli % joka kuukausi), saadaan "korkoa korolle" ja kolmen vuoden jälkeen tilillä on
Teoreettinen jatkuvan koron malli: jos korko lisätään pääomaan "jatkuvasti", yhden vuoden jälkeen tilillä on ja kolmen vuoden jälkeen siis
Yllä käytetään siis mallia, jossa on talletusaika (vuosina, ei välttämättä kokonaisluku) ja on talletuksen määrä ajan kuluttua, kun on talletuksen määrä hetkellä .
Arkusfunktiot
trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot ja niiden derivointi
[A, 3.5]
Lämmittelyksi
Kertaa trigonometriset funktiot (vaikkapa kurssilta Calculus 1), ainakin
määrittely yksikköympyrältä,
kuvaajat ja
derivointi.
Tarvitsemme tänään myös
muunnoskaavoja sekä
muistikolmioita, joiden avulla saadaan joitakin tarkkoja arvoja (mitkä?).
Piirrä sinin, kosinin ja tangentin kuvaajat.
Onko sini injektio? Entä kosini? Entä tangentti?
Voidaanko määrittelyjoukkoa rajoittaa niin, että saadaan injektio? Mille välille rajoitutaan?
sini
kosini
tangentti
Sinin käänteisfunktio
Välillä sini on aidosti kasvava ja siis injektio
(tämä nähdään siitä, että derivaatta kaikilla ja sini on jatkuva välin päätepisteisiin saakka).
Siten sillä on käänteisfunktio, jolle annamme nimen arkussini, merk. :
Määritelmä
Huomaa, että sini saa välillä kaikki arvot väliltä eikä muita. Siis arkussinin
määrittelyjoukko on ja
arvojoukko on .
Sanallisesti ja kulma on väliltä
(sinin jaksollisuuden takia ratkaisuja löytyisi muitakin).
kulma = kaaren pituus, lat. "arcus" = kaari
Kumoutuminen: ja
Esimerkkejä
, koska ja
, koska ja
, koska ja
(esim. ei käy, vaikka , koska se ei ole välillä )
ei ole määritelty! ()
Sievennä
koska , on
koska , ei saada suoraan
muunnoskaavat: , siis ja siten koska
Sievennä
ei tunneta tarkkaa arvoa ; miten saadaan tarkka arvo ? Onko mahdollista?
Piirrä suorakulmainen kolmio, jossa näkyy: hypotenuusaksi , toiseksi kateetiksi
mikä on toinen kateetti?
missä on kulma ?
Lue kolmiosta tämän kulman kosini; saat .
Sievennä , kun
Kuten edellä: piirrä kolmio, laske toinen kateetti ja lue tangentti.
Onko sama tulos voimassa kaikilla ?
(ei päätepisteissä, muualla kyllä)
Derivointi
Arkussinin derivaatta on
Perustelu implisiittisen derivoinnin (ks. Calculus 1) tai käänteisfunktion derivointikaavan avulla.
Kumoutumisesta vielä
Sini on määritelty kaikilla ja sen arvo aina.
Siispä funktio on määritelty kaikilla . Piirrä sen kuvaaja.
Huomaa, että arkussinin arvot ovat aina välillä .
Tulos ei siis voi olla kaikkialla.
Mitä tapahtuu välin ulkopuolella?
Voit käyttää derivaattaa apuna. Missä derivoituva? Onko jatkuva?
[A, s. 193-194]
Kosinin käänteisfunktio
Kosini on "siirretty sini", ; käänteisfunktio arkuskosini toimii likimain samalla tavalla kuin arkussini.
Erot:
Arkuskosinilla ja arkussinillä on eri arvojoukot
Missä kosini on injektio? Valitaan näistä väli (sopimus).
Arkussini on aidosti kasvava (tarkista itse), arkuskosini on aidosti vähenevä.
Määritelmä
"se kulma/kaarenpituus , jolle ja ".
Derivointi
Arkuskosinin derivaatta on
Perustelu implisiittisen derivoinnin (ks. Calculus 1) tai käänteisfunktion derivointikaavan avulla kuten arkussinille.
Huomaa, että . Miksi?
Mieti kuvaajien avulla ensin.
Sitten seuraava havainto auttaa:
Havainto
Kun , on
Perustelu muunnoskaavan avulla.
Tangentin käänteisfunktio
Tangenttifunktio
ei ole määritelty kaikilla
kosinin nollakohdat pois eli ,
on aidosti kasvava välillä
(tarkista derivaatan avulla)
saa välillä kaikki reaalilukuarvot eli arvojoukko on
on välille rajoitettuna injektio, joten sillä on tällä välillä käänteisfunktio, jolle annamme nimen arkustangentti, merk. :
Määritelmä
Arkustangentin
määrittelyjoukko on koko
arvojoukko on
epäoleelliset raja-arvot ovat vrt.
Piirrä kuvaajat , kun ja .
Kumoutumiset: ja
Esimerkkejä
, koska ja
Kuten aiemmin, piirrä kolmio, jossa näet
(eli suorakulmainen kolmio, jossa kateetit ovat ja )
ja laske hypotenuusa ja lue kosini
Derivointi
Arkustangentin derivaatta on
Perustelu implisiittisen derivoinnin (ks. Calculus 1) tai käänteisfunktion derivointikaavan avulla kuten arkussinille.
Kumoutumisesta vielä:
Millaisen kuvaajan saat funktiolle ? Onko jatkuva, onko derivoituva (missä)?
Hyperboliset ja areahyperboliset funktiot
määritelmät, muunnos- ja summakaavat, derivointi
[A, 3.6]
Lämmittelytehtävä:
Tarkastellaan funktioita
ja
.
Piirrä samaan kuvaan kuvaajat ja .
Millaisen kuvaajan saisit näiden funktioiden summalle ja erotukselle? Hahmottele kuvan avulla
ja
.
Laske
Hyperbelisini ja hyperbelikosini
Määritelmät
Hyperbelisini eli hyperbolinen sini, merk. , on funktio
määrittelyjoukko on koko .
Hyperbelikosini eli hyperbolinen kosini, merk. , on funktio
määrittelyjoukko on koko .
Ominaisuuksia
Hyperbolinen sini ja hyperbolinen kosini molemmat ovat
jatkuvia ja
derivoituvia funktioita.
(Mistä tiedät nämä?)
Hyperbolinen kosini on
parillinen funktio eli
Hyperbolinen sini on
pariton funktio eli
(Laske itse!)
Hyperbolista kosinia kutsutaan myös nimellä ketjukäyrä, koska päistään kiinnitetty vapaasti roikkuva ketju (tai naru) asettuu tähän muotoon.
+parametreja...
Muunnoskaavoja ja yhteys hyperbeliin
Huomaa, että
Laske!
[A propos, jokainen reaalifunktio voidaan kirjoittaa parillisen ja parittoman funktion summana - osaisitko todistaa? [A, P.5, harj. 35] Jopa yksikäsitteisesti (eli vain yhdellä tavalla). HT**]
Lisäksi
Laske!
Nimitys "hyperbolinen" tulee tästä:
kaikilla tason piste on hyperbelillä
(vrt. on ympyrällä )
luvulle ei ole tulkintaa kaarenpituutena, mutta on hyperbelisektorin ala [A, s. 200]
Huomaa myös (laske!), että
(Huom. sini ja kosini määriteltiin yksikköympyrän avulla; hyperbolisille funktioille meillä on määritelmät eksponenttifunktion lausekkeina.)
Summakaavat
ja
Laske itse (HT)
vrt. trigonometristen funktioiden summakaavat
näistä esim. ja
Arvojoukot
Mitä arvoja hyperbelisini ja hyperbelikosini saavat?
Tämä nähdään epäoleellisten raja-arvojen avulla:
hyperbelisini: ja funktio on jatkuva, joten hyperbolisen sinin arvojoukko on .
hyperbelikosini: funktio on jatkuva + derivoituva, derivaatta ja , joten hyperbolisen kosinin arvojoukko on . (Voit tehdä kulkukaavion vahvistamaan uskoa.)
Totea yllämainitut raja-arvot itse, esim. koska .
Derivointi
Hyperbolinen sini ja hyperbolinen kosini ovat kumpikin kaikkialla derivoituvia funktioita, koska eksponenttifunktio on kaikkialla derivoituva. Derivaatat ovat ja
Laske itse!
Huomataan samalla, että koska kaikilla ,
hyperbolinen sini on aidosti kasvava koko joukossa .
Hyperbolinen tangentti
Määritelmä:
Määrittelyjoukko on koko
koska nimittäjä ei ole nolla missään (ja , on määritelty kaikkialla).
Derivointi:
Huomataan, että kaikilla , joten hyperbelitangentti on aidosti kasvava funktio.
Arvojoukko? ja ja on jatkuva+derivoituva, derivaatta >0 kaikkialla eli on aidosti kasvava; siis
arvojoukko on .
Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot
Koska hyperbolinen sini ja tangentti ovat aidosti kasvavia (ja siis injektioita) koko joukossa , niillä on käänteisfunktiot, joita kutsutaan nimellä areahyperbelifunktiot.
Hyperbolinen kosini ei ole injektio koko määrittelyjoukossaan, mutta kylläkin välillä . Rajoittumalla tälle välille saadaan käänteisfunktio (areahyperbelikosini).
Kuten aiemmin, käänteisfunktion määrittelyjoukko on alkuperäisen funktion arvojoukko.
Määritelmät
Areahyperbelisini:
määrittelyjoukko on koko .
Areahyperbelitangentti:
määrittelyjoukko on .
Areahyperbelikosini:
määrittelyjoukko on .
Lausekkeet
Areahyperbelisini:
Areahyperbelikosini:
Areahyperbelitangentti:
Laske! (HT*)
Derivointi
Areahyperbelisini:
Areahyperbelikosini:
Areahyperbelitangentti:
Laske! (HT*)
Merkinnöistä vielä
Areahyperbelifunktioille käytetään joskus myös muita merkintöjä, esim.
areahyperbelisinille merkinnän sijasta tai jopa (laskentaohjelmissa).
Sovelluksia ja muuta jännää
lisää eksponentiaalisesta kasvusta, sovelluksia eri aloilta
Eräs soluviljemä kasvaa nopeudella joka on suoraan verrannollinen viljelmän kokoon. Jos soluja on alunperin 500 ja 24 tunnin kuluttua 800, kuinka monta solua viljelmässä on seuraavien 12 tunnin kuluttua (eli 36 h alkuhetkestä)?
solujen määrä tunnin kuluttua (alusta eli hetkestä, jolloin soluja oli 500)
siis ja
Malli: kasvunopeus on verrannollinen kokoon eli eli alkuehdosta saadaan ; siis
Ratkaistaan toisen annetun tiedon avulla: , joten eli ja siis
Tästä saadaan kysytty tieto
Vastaus: Kun aikaa on kulunut vielä 12 tuntia, soluja on noin 1012 kpl.
Kaksinkertaistumis- / puoliintumisaika
Eksponentiaalinen kasvu kiinteä "tuplaantumisaika":
Jos ja eli alkutilanteesta suure kasvaa kaksinkertaiseksi ajan kuluessa, niin eli ja eli milloin tahansa (millä hetkellä tahansa) kaksinkertaistuu saman ajan kuluessa.
Vastaavasti jos , puoliintumisaika on kiinteä: ja
Esimerkki
Erään radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 1200 vuotta.
Kuinka suuri osa radioaktiivista ainetta on jäljellä 10 vuoden kuluttua?
Kuinka pitkän ajan kuluessa radioaktiivisuus vähenee 10 prosentilla?
Tiedot:
kuinka monta prosenttia radioaktiivista ainetta on jäljellä vuoden kuluttua
alkuehto:
puoliintumisaika 1200 vuotta
Malli: radioaktiivinen aine vähenee suhteessa määrään ( puoliintumisaika on vakio), joten mallina on tässäkin eksponentiaalisen kasvun/vähenemisen malli, ja alkuehdosta saadaan ; siis
Puoliintumisajan avulla ratkaistaan : eli
huomaa, että , radioaktiivisuus vähenee ajan kuluessa.
Siis 10 vuoden jälkeen
10 vuoden jälkeen radioaktiivista ainetta on jäljellä vielä yli 99{,}4 %.
Ratkaistaan siten, että : eli
Radioaktiivinen aine on vähentynyt 10 % noin 182 vuoden kuluttua.
Muunnelmia
Newtonin jäähtymislaki (esim.)
"Muutosnopeus on suoraan verrannollinen erotukseen (jostain kiinteästä arvosta )"
Ratkaiseminen:
merkitään , jolloin ja
ratkaistaan kuten aiemmin
palataan takaisin funktioon .
Esimerkki
Huoneen lämpötila on 20 astetta (ja pidetään vakiona). Jos kupillinen kahvia jäähtyy 80 asteesta 50 asteeseen viidessä minuutissa, kuinka kauan vielä pitää odottaa, että kahvi on 40 asteista?
kahvin lämpötila minuutin jälkeen
Laske: ; ratkaise (saat )
Ratkaise yhtälöstä eli
vastaus: vielä noin minuuttia eli noin 2 min 55 sek.
Jatkuva korko
Jatkuvan koron malli (ks. myös käsittely aiemmin):
on alkupääoma
on nimellinen vuosikorko
on talletusaika vuosina
Logistinen kasvu
"Suureen eksponentiaalista kasvua rajoittaa järjestelmän kantokyky "
Ratkaisu on
totea itse, että annettu toteuttaa differentiaaliyhtälön ja alkuehdon (HT*)
Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
Esimerkki
Toteuttaako differentiaaliyhtälön olivatpa ja mitä tahansa vakioita?
Laske derivaatat:
Sijoita yhtälöön ja laske:
Johtopäätös: kyllä toteuttaa.
Toisistaan riippuvat muutosnopeudet
engl. related rates
Esimerkki
Eräällä hetkellä suorakaiteen leveys on 10 cm ja pituus 8 cm. Tuolla hetkellä leveys kasvaa nopeudella 2 cm/s ja pituus vähenee 3cm/s. Kuinka nopeasti suorakaiteen pintala kasvaa/pienenee kyseisellä hetkellä?
ratkaisujen lukumäärä (onko yhtään? onko monta?) pitää selvittää muilla keinoin
Calculus 1
usein halutaan löytää useasta ratkaisusta jokin tietty (tietyltä väliltä oleva) ratkaisu.
Yhtälöiden numeerisia ratkaisumenetelmiä
Yhtälön numeeriset ratkaisumenetelmät perustuvat funktion ominaisuuksiin.
Mitä "mukavampi" , sen "parempia" menetelmiä.
Vähintään funktion on oltava jatkuva
(jollakin välillä, jolta ratkaisuja etsitään).
Yleensä tarvitaan jonkinlainen karkea käsitys siitä, mistä päin ratkaisu voisi löytyä;
väli, jolla ratkaisu on, tai
"alkuarvaus" ratkaisusta.
Haarukointi / puolitushaku
Bolzanon lause: "jos jatkuva funktio vaihtaa merkkiään, jossain tällä välillä se saa arvon nolla".
Tarvitaan siis kaksi pistettä,
joissa saa eri merkkiset arvot, ja
joiden välissä on jatkuva.
Menetelmä:
Jos on jatkuva välillä ja saa eri merkkiset arvot pisteissä ja , niin
Lasketaan . Onko vai ?
jos , ratkaisu löytyi!
Valitaan joko väli tai sen mukaan, kummalla välillä vaihtaa merkkiään.
Jatketaan alusta.
Menetelmällä löydetään yhtälön ratkaisulle niin tarkka likiarvo kuin halutaan,
mutta hitaasti (tarvitaan paljon laskentatyötä);
olettaen vain funktion jatkuvuus (ja eri merkkiset arvot jossain).
Yllä kuvatusta menetelmästä käytetään myös nimitystä puolitushaku
tutkittava väli jaetaan aina puoliksi
(voitaisiin jakaa myös jotenkin muuten).
[A, esimerkki 12 s. 86, "The Bisection Method"]
Kiintopistemenetelmä
Ratkaistaan yhtälöä
Pistettä , jossa , kutsutaan funktion kiintopisteeksi
etsitään siis funktion kiintopistettä.
Tarvitaan
alkuarvaus
joitakin lisäominaisuuksia funktiolta (myöhemmin).
Menetelmä:
Rakennetaan jono seuraavasti: eli "iteroidaan" funktiota aloittaen pisteestä .
...ja toivotaan, että jono suppenee, eli että
jos jono suppenee, raja-arvo on haluttu kiintopiste
likiarvoratkaisu saadaan, kun iterointi lopetetaan
milloin lopetetaan? (tarkkuus...)
mistä tiedetään, suppeneeko?
jos ei suppene, ei hyötyä
Esimerkki
Ratkaise .
Alkuarvaus (miksi?).
[A, s. 221]
(Lukujonoja ja niiden suppenemista käsitellään kurssilla Calculus 3.)
Kiintopistelause
Jos on määritelty välillä ja lisäksi
kaikilla sekä
jollakin luvulla on kaikilla ,
niin funktiolla on täsmälleen yksi kiintopiste ja kiintopistemenetelmän jono suppenee kohti tätä lukua .
Newtonin menetelmä
"Mennään tangentin suuntaan: uusi arvaus on tangenttisuoran ja -akselin leikkaus."
Ratkaistaan yhtälöä
Tarvitaan
alkuarvaus ja
funktion derivoituvuus.
Menetelmä:
Lasketaan funktion arvo ja derivaatta
Lasketaan, missä käyrän pisteeseen piirretty tangenttisuora leikkaa -akselin:
Tangenttisuora on
Tangenttisuoran leikkauspiste -akselin kanssa, merk. :
Ratkaistaan :
Otetaan saatu uudeksi arvaukseksi ja jatketaan alusta.
Sama menetelmä kuin kiintopistemenetelmässä, mutta funktiolle
Siis
Derivaatta ei saa olla nolla laskettavissa pisteissä...
Kuten kiintopistemenetelmä, ei aina suppene. (Mutta suppenee samoilla oletuksilla.)
Mihin ratkaisuun päätyy? Ei välttämättä alkuarvausta lähimpään!
Esimerkki
Yhtälöllä on vain yksi reaalijuuri (miksi?). Etsi Newtonin menetelmällä tämän reaalijuuren likiarvo haluamallasi tarkkuudella (vaikkapa 3 desimaalia).
Alkuarvaus
[A, esimerkki 3, s. 224]
Likiarvoratkaisujen tarkkuudesta
Ratkaistaan numeerisesti yhtälöä
Mitä tarkoittaa "ratkaisun tarkkuus"?
Ratkaisun likiarvo on lähellä oikeaa ratkaisua
lähempänä kuin annettu tarkkuus , siis , VAI
funktion arvot ovat lähellä nollaa
lähempänä nollaa kuin haluttu toleranssi , siis .
Terminä "tarkkuus" tarkoittaa näistä edellistä; usein käytännössä tarvitaan jälkimmäistä.
Usein laskentaohjelmistoissa käyttäjä voi määrätä tarkkuuden ja/tai toleranssin.
Usein ohjelmisto osaa kertoa, että menetelmä ei näytä suppenevan
"too many iterations", lopettaa tietyn määrän jälkeen ellei haluttua tarkkuutta saavuteta.
Eri ohjelmistoissa / laskimissa yksityiskohdiltaan erilaisia menetelmiä
lue käyttöohjeet!
Numeerisista menetelmistä lisää samannimisellä kurssilla (TIEA381).
Epämääräiset raja-arvotilanteet
l'Hospitalin sääntö x2
[A, 4.3]
Lämmittelyksi
Laske raja-arvot
Kaikki edellämainitut ovat "epämääräisiä tilanteita",
ylläolevissa tapauksissa osoittajan ja nimittäjän kummankin raja-arvo on nolla
(eli sijoittamalla saataisiin )
tulos voi olla mitä vain, kuten edellä laskit!
Aiemmin (Calculus 1, ks. 6.5) olemme oppineet käsittelemään erilaisia epämääräisiä raja-arvotilanteita:
muokkaamalla lauseketta, esim.
jaetaan tekijöihin, supistetaan nollaan menevä tekijä pois tai
lavennetaan sopivalla lausekkeella ja sievennetään; sekä lisäksi
suppiloperiaatteen avulla
erityisesti , kun .
Tällä kurssilla olemme nähneet lisää muokkauskeinoja, esim.
kirjoita eksponenttifunktion avulla () ja käytä potenssien laskusääntöjä sekä eksponenttifunktion ominaisuuksia.
(Tämä auttaa usein mm. tilanteessa , harjoituksissa esimerkkejä.)
Seuraavaksi näemme, miten epämääräisiä raja-arvotilanteita voidaan käsitellä derivaatan avulla.
Huom! Näitä keinoja ei voida käyttää kaikkiin tilanteisiin; selvitä aina ensin, mistä tilanteesta on kyse
onko vaikkapa vai .
Usein "vääränmuotoiset" tilanteet voidaan muokata "oikeanmuotoisiksi".
l'Hospitalin sääntö (1)
"Tilanteessa lasketaan osamäärän raja-arvo derivaattojen osamäärän raja-arvona."
Tarkemmin:
Jos
funktiot ja ovat molemmat derivoituvia välillä ja
kaikilla ja
ja , kun sekä
niin
Huomaa, että yllä muotoilu on toispuoleiselle (oikeanpuoleiselle) raja-arvolle pisteessä .
Toimii vastaavasti, kun
(eli vasemmanpuoleiselle raja-arvolle) tai
, (eli molemminpuoliselle kerralla) tai
ja/tai (epäoleelliset raja-arvot).
Yllä voi olla luku tai .
Perustelu
Tarvitaan yleistetty DVAL (Calculus 1, ks. 11.4.2). Idea:
koska , merkitään ("jatketaan jatkuvasti")
vastaavasti jatketaan
YDVAL: väliltä löytyy piste , jolle
kun , myös ja siis
Tapaus (tai ):
merkitään , jolloin ja l'Hospitalin säännöllä
Huomautuksia
Tarvitaan tilanne .
Lasketaan erikseen osoittajan ja nimittäjän derivaatat ja näiden osamäärä
ei osamäärän derivaattaa!
Raja-arvo voi olla myös tai (nk. epäoleellinen raja-arvo).
Samalla tavalla voidaan tutkia raja-arvoa äärettömyydessä (eli tai ).
Esimerkki (yksinkertainen tapaus)
Laske raja-arvo
Koska ja , on tilanne epämääräinen . Osoittaja ja nimittäjä kumpikin ovat derivoituvia vaikkapa välillä , joka sisältää pisteen 1, derivaatat ja . l'Hospitalin säännöllä siis
Esimerkki (säännön ketjuttaminen)
Laske
Kun , osoittaja ja nimittäjä eli Derivoidaan osoittaja ja nimittäjä (molemmat kaikkialla derivoituvia): ja Nyt l'Hospitalin säännöllä jolloin edelleen ollaan tilanteessa ; jatketaan l'Hospitalin säännöllä: (sama juttu, vielä kerran l'H):
Kysymys: pitäisikö tarkistaa oletuksia?
viimeinen "kolmansien derivaattojen osamäärän" raja-arvo on olemassa, joten viimeinen l'H ok; vastaavasti tästä saadaan toiseksi viimeinen l'H jne.
siis se, että raja-arvo lopulta löytyy, riittää.
l'Hospitalin sääntö (2)
"Tilanteessa lasketaan osamäärän raja-arvo derivaattojen osamäärän raja-arvona."
Tarkemmin:
Jos
funktiot ja ovat molemmat derivoituvia välillä ja
kaikilla ja
ja , kun sekä
niin
Kuten edelliselle säännölle:
Yllä muotoilu on toispuoleiselle (oikeanpuoleiselle) raja-arvolle pisteessä .
Toimii vastaavasti, kun
(eli vasemmanpuoleiselle raja-arvolle) tai
, (eli molemminpuoliselle kerralla) tai
ja/tai (epäoleelliset raja-arvot).
Yllä voi olla luku tai .
Perustelun idea hiukan monimutkaisempi kuin edelliselle säännölle
[A, s.233, tehtävä 35]
(menee jo yli tämän kurssin oppimistavoitteiden).
Käytetään kyllä!
Esimerkki
Laske
Tilanne on , derivoituvat funktiot osoittajassa ja nimittäjässä, joten l'Hospital Edelleen , joten l'Hospital
Samalla tavalla mille tahansa potenssifunktiolle , kun (HT).
Huomioita ja varoituksia
l'Hospitalin sääntöä ei voi käyttää, ellei raja-arvotilanne ole tai
toki "käyttää voi" ja laskun saa loppuun, mutta tulos on väärä...
Esim.
(osaathan laskea/perustella?)
Mitä saisit "l'Hospitalin sääntöä käyttäen"?
Jos derivaattojen osamäärällä ei ole raja-arvoa (edes epäoleellista), ei l'Hospitalin säännöllä saada tietoa.
Voi olla, että muilla keinoilla silti saadaan raja-arvo selvitettyä, esim.
suppiloperiaatteella (kuten )
tai Taylorin polynomien avulla, joista lisää myöhemmin (luento 13 + Calculus 3).
Entä muut epämääräiset muodot?
Esimerkkejä
Laske
tässä epämääräinen muoto
laventamalla samannimisiksi saadaan muotoon
l'H kahdesti, tulos on 0; yksityiskohdat [A, s.231].
Laske
tässä epämääräinen muoto
kirjoitetaan eli
lasketaan raja-arvo (l'Hospitalin säännön avulla)
tulos on siis .
[A, s.232]
Ääriarvot ja funktion kulku
Ääriarvot
kuperuus
käännepiste
toinen derivaatta ja ääriarvot
funktion kuvaajan hahmottelu
asymptootit
[A, (4.4), 4.5, 4.6, 4.8]
Funktion ääriarvot
Kertaa funktion ääriarvojen etsiminen kurssilta Calculus 1 (luento 12 kokonaan; sisältö kuuluu myös tälle kurssille).
Esimerkki
Selvitä, onko funktiolla pienintä arvoa välillä .
Epäoleelliset raja-arvot ja
on jatkuva koko välillä , joten minimi löytyy (mistä?)
derivaatan nollakohdasta (), koska on derivoituva koko välillä
pienin arvo on siis (tee kulkukaavio "varmuuden vuoksi")
tarkemmin [A, s. 238-9].
Selvitä funktion lokaalit ja globaalit ääriarvot sekä hahmottele kuvaaja. Mikä on funktion arvojoukko?
on derivoituva kaikkialla, joten lokaalit ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista ()
tee kulkukaavio nähdäksesi, missä on kasvava, missä vähenevä
lokaali minimi
lokaali maksimi
epäoleelliset raja-arvot , joten ainoa lokaali maksimi on myös globaali maksimi; minimi vastaavasti.
on jatkuva joten arvojoukko on väli
tarkemmin [A, s. 239]
Kuperuus (eli konveksisuus)
Määritelmä ja vastaavia ehtoja
Derivoituva funktio on välillä
alaspäin kupera eli konveksi, jos on aidosti kasvava välillä
ylöspäin kupera eli konkaavi, jos on aidosti vähenevä välillä
Mitä tämä tarkoittaa
kuvaajan muodolle:
missä on alaspäin kupera, kuvaajassa on "notko", "kaartuu ylöspäin"
missä on ylöspäin kupera, kuvaajassa on "kumpu", "kaartuu alaspäin"
tangenttisuorien avulla:
missä on alaspäin kupera, tangenttisuorat kulkevat kuvaajan alapuolella
missä on ylöspäin kupera, tangenttisuorat kulkevat kuvaajan yläpuolella
toisen derivaatan avulla: jos on kahdesti derivoituva, niin
missä , siellä on alaspäin kupera
missä , siellä on ylöspäin kupera
huom: välillä aidosti kasvava välillä
ei ; voi olla yksittäisessä pisteessä ja silti aidosti kasvava koko välillä (ks. Calculus 1, 11.1.2).
Huomautuksia ja esimerkkejä
Älä sekoita funktion kasvavuuteen/vähenevyyteen:
esim. on aidosti kasvava koko reaalilukujen joukossa, mutta
konkaavi välillä
konveksi välillä
laske itse + piirrä kuva!
esim. on
aidosti kasvava väleillä ,
aidosti vähenevä väleillä ,
konkaavi väleillä ,
konveksi väleillä eli väleillä ,
piirrä kuva + laske myös itse.
Huomautus(+)
Edellä oletettiin, että funktio on derivoituva välillä .
Yleisemmin konveksisuus voidaan määritellä sekantin avulla:
funktio on alaspäin kupera eli konveksi, jos kuvaajan pisteitä yhdistävä jana kulkee kuvaajan yläpuolella.
Piirrä kuva.
Vastaavasti tason osajoukko on konveksi joukko, jos sen kahta pistettä yhdistävä jana pysyy joukossa.
Piirrä kuva.
Käännepiste
"Suoristuspiste"; kohta, jossa kuperuus muuttuu.
Määritelmä
Piste on kuvaajan käännepiste, jos
käyrällä on tangenttisuora pisteessä ja
funktion kuperuus vaihtuu pisteessä
eli on pisteen toisella puolella ylöspäin kupera, toisella alaspäin kupera.
Vastaavasti sanomme, että funktiolla on käännepiste kohdassa , jos
piste on kuvaajan käännepiste.
Huomautuksia
Käännepisteessä funktion kuvaajalla on tangenttisuora; siis
joko on derivoituva pisteessä
tai kuvaajalla on pystysuora tangentti pisteessä .
Käännepisteen eri puolilla kuvaaja kulkee eri puolilla em. tangenttisuoraa.
Myös muille käyrille kuin funktioiden kuvaajille määritellään käännepiste vastaavalla tavalla:
piste on käyrän käännepiste, jos käyrällä on tangentti pisteessä ja kuljettaessa käyrää pitkin pisteestä vastakkaisiin suuntiin käyrä kulkee tämän tangenttisuoran vastakkaisilla puolilla.
Käännepisteiden löytäminen
Toisen derivaatan avulla:
Jos on kahdesti jatkuvasti derivoituva, vaihtaa merkkiään käännepisteissä; siis
riittää etsiä toisen derivaatan nollakohdat ja
tutkia, ovatko todella käännepisteitä (vaihtuuko :n merkki).
Vaikka toista derivaattaa ei olisi (tutkittavassa pisteessä), piste on käännepiste, jos
ensimmäinen derivaatta on olemassa ja
toisen derivaatan merkki vaihtuu.
Esimerkki (ääriarvot, kuperuus, käännepisteet, kuvaajan hahmottelu)
Tutki funktion kulkua:
selvitä, millä väleillä on kasvava, missä vähenevä;
selvitä funktion lokaalit ääriarvot;
selvitä, millä väleillä on konveksi, millä konkaavi; sekä
hahmottele näiden tietojen perusteella funktion kuvaajaa.
Polynomina on kaikkialla kahdesti (tai vaikka kuinka monta kertaa) derivoituva;
lokaalit ääriarvot löytyvät derivaatan nollakohdista, jos niitä on;
käännepisteet löytyvät toisen derivaatan nollakohdista, jos niitä on;
kasvavuus ja vähenevyys derivaatan merkin avulla
kuperuus toisen derivaatan merkin avulla
tee kulkukaavio!
nollakohdat ja
,
nollakohdat ja
kulkukaavioon pisteet .
Ensimmäisen derivaatan merkki kertoo kasvavuuden:
, kun , siis on aidosti vähenevä välillä
, kun , siis on aidosti kasvava välillä
lokaali minimi kohdassa
kriittinen piste ei ole lokaali ääriarvopiste.
Toisen derivaatan merkki kertoo kuperuuden:
, kun , siis on konkaavi välillä
, kun tai , siis on konveksi väleillä ja
käännepisteet ja
Toisen derivaatan testi
Palataan ääriarvojen selvittämiseen. Derivoituvan funktion lokaalit ääriarvot löytyvät kriittisistä pisteistä eli derivaatan nollakohdista.
"Kuperuus kertoo, ollaanko maksimissa vai minimissä."
Tarkemmin:
Kriittisten pisteiden laatu voidaan selvittää toisen derivaatan avulla:
Jos ja
, niin on lokaali maksimipiste;
, niin on lokaali minimipiste.
Huomautuksia
Jos ja
, niin testi ei anna tietoa kriittisen pisteen laadusta.
Jos , ei kyse ole kriittisestä pisteestä eikä siis lokaalia ääriarvoa voi löytyä (sikäli kun on derivoituva).
Kuvaajan hahmottelusta
Halutaan siis tutkia funktion kulkua:
missä määritelty
missä kasvava / vähenevä, lokaalit/globaalit ääriarvot
asymptootit eli rajasuorat
myös kuvaajan "muotoa" eli missä konveksi, missä konkaavi
tiedot myös sitovat toisiaan (kaikki yhdistelmät eivät ole mahdollisia)
virheentarkistuskeino
Asymptootit
Funktion kuvaajalla on
vaakasuora asymptootti , jos
pystysuora asymptootti , jos
vino asymptootti , jos
Pystysuoria ja vaakasuoria asymptootteja käsiteltiin jo kurssilla Calculus 1 (kohta 6.3), kertaa tarvittaessa
myös esimerkkejä löydät kurssilta Calculus 1.
Esimerkkejä
Etsi funktion kuvaajan asymptootit.
Nimittäjän nollakohdassa on pystysuora asymptootti, sillä ja (toinenkin riittäisi).
Koska on ja siis on kuvaajan (kaksisuuntainen) vino asymptootti.
Vaakasuoria asymptootteja ei ole, koska , kun ja , kun (sama vino asymptootti, kun )
Etsi funktion kuvaajan asymptootit.
Jaa jakokulmassa tai päättele:
Koska , kun ,
löytyy vino asymptootti .
Pystysuoria ei ole, koska nimittäjällä ei ole reaalisia nollakohtia (diskriminantti ).
selvitä funktion määrittelyjoukko (onko kaikkialla määritelty?)
laske ja ja sievennä tarvitsemaasi muotoon (yleensä tulo)
selvitä asymptootit
pystysuorat (nimittäjän nollakohdissa, jos on)
vaakasuorat/vinot (tutki )
onko ilmiselviä ominaisuuksia (esim. parillisuus/parittomuus, muut symmetriat)
laske joitakin funktion arvoja, esim.
missä kuvaaja leikkaa akselit (jos onnistuu helposti)
lisää listaan kriittiset pisteet, singulaaripisteet, käännepisteet (jos löytyy)
jos funktio on epäjatkuva tai määritelty paloissa, laske ainakin yksi arvo joka osasta
tutki derivaattaa :
onko kriittisiä pisteitä ()
onko singulaaripisteitä (derivaattaa ei ole)
millä väleillä on positiivinen, millä negatiivinen
missä on kasvava, missä vähenevä
kulkukaavio on hyvä apu
laita kulkukaavioon kaikki tarpeelliset pisteet (kriittiset pisteet, singulaaripisteet, välien päätepisteet)
lokaalit ääriarvot löytyvät jo näillä tiedoilla
tutki toista derivaattaa :
missä
missä ei ole olemassa
millä väleillä on positiivinen, millä negatiivinen
kertoo funktion kuperuuden
tässäkin kulkukaavio on hyvä apu; voit käyttää erillistä kaaviota tai laittaa kaikki "kiinnostavat pisteet" samaan kulkukaavioon
käännepisteet löytyvät näillä tiedoilla
Hahmottele kuvaa:
löytyykö ristiriitaisia tietoja (teitkö virheen jossain)
mitkä piirteet ovat kiinnostavia - millainen kuva kannattaa piirtää (askelit, mittakaava)
Miksi ihmeessä?
Miksi nähdä vaivaa funktion lausekkeen ja kuvaajan yhteyksien ymmärtämiseksi, kun voin käyttää tietokonetta (tai graafista laskinta) kuvaajan piirtämiseen?
Kokeile piirtää vaikkapa .
Miltä kuvaaja näyttää vaikkapa välillä ?
Miltä kuvaajan pitäisi näyttää?
Lisätietoja mm. [A, 4.7] sekä kurssit Symbolinen laskenta ja Tietokoneavusteinen matematiikka.
(Toki muitakin motiiveja löytyy...)
Riemannin integraali
Pinta-ala
Summamerkintä ja summien käsittelystä
Pinta-alan laskeminen summien raja-arvona
Määrätty integraali eli Riemannin integraali
[A, 5.1-5.3]
Lämmittelytehtävä
Ota kaksi ruutupaperia.
Suunnittele 1. paperille uusi piparkakkumuotti.
(= piirrä tasokuvio)
Arvioi kuviosi pinta-alaa (piparitaikinan menekin arvioimiseksi).
Kirjoita arviosi 2. paperille.
Anna 1. papereista toiselle opiskelijalle.
Arvioi saamasi kuvion pinta-alaa (ruutuina):
Kuinka monta ruutua on kokonaan kuvion sisällä? (S)
Kuinka monta ruutua peittäisi koko kuvion? (P)
Kirjoita arviosi kuvion viereen:
Palauta paperi lähettäjälle.
Tutki piirtämäsi kuvion saamaa pinta-ala-arviota.
Osuiko oma alkuperäinen arviosi lukujen ja väliin?
Jos ei, kumpaan luotat enemmän?
Mikä on kuviosi "oikea pinta-ala"?
Onko kaikilla kuvioilla pinta-ala?
Pinta-alasta
Halutaan että tasoalueen "pinta-ala" toteuttaa ainakin seuraavat ehdot:
"aina"
suorakulmiolle, jonka pituus on ja leveys on , pinta-ala on
yhtenevillä tasokuvioilla on sama pinta-ala
jos kahdelle tasoaluelle on , niin pinta-aloille
jos tasoalue on äärellisen monen sellaisen tasoalueen yhdiste, jotka eivät leikkaa toisiaan, sen pinta-ala saadaan laskemalla näiden osa-alueiden pinta-alat yhteen
Suorakulmion pinta-alasta saadaan näiden avulla
suunnikkaan pinta-ala (kanta kertaa korkeus)
kolmion pinta-ala (suunnikas muodostuu kahdesta yhtenevästä kolmiosta)
minkä tahansa monikulmion pinta-ala (jakamalla kolmioihin)
Entä muiden tasokuvioiden pinta-alat?
Tarvitaan raja-arvo!
Raja-arvoina on saatu myös koulusta tunnetut
ympyrän pinta-ala , kun säde on , ja
ellipsin pinta-ala , kun puoliakselit ovat ja
käytämme näitä tässä vaiheessa perustelematta.
Jaetaan tasokuvio osiin, jotka ovat muotoa
"käyrien , , ja väliin jäävä alue, kaikilla "
((Kaikki funktiot eivät tähän sovellu, mutta
välillä jatkuvat funktiot kyllä
samoin paloittain jatkuvat.))
Lasketaan tällaisen osan pinta-ala "viipaloimalla":
käytetään suorakaiteita, joiden
korkeus on funktion arvo jossain pisteessä,
leveys on näiden pisteiden etäisyys
lasketaan suorakaiteiden alat yhteen ja otetaan raja-arvo, kun suorakaiteiden leveys menee nollaan
"virhe pienenee nollaan"
jos onnistuu, ok; jos ei, "pinta-alaa ei ole"
Summamerkintä
Pinta-alojen laskemisessa on siis tarpeen laskea yhteen "paljon" termejä (ja sen jälkeen ottaa raja-arvo).
Otetaan käyttöön lyhennysmerkintä
(sama merkintä tulee eteen myöhemmin muissa yhteyksissä).
Määritelmä, käsitteitä, eri muotoja
Summamerkintä on summan lyhennysmerkintä:
lue: "summa , kun kulkee yhdestä :ään"
on summausindeksi
ei näy "tuloksessa"!
voidaan vaihtaa,
on summan :s termi
on summauksen yläraja
näkyy (yleensä) tuloksessa
yllä on summauksen alaraja
Summa voidaan aloittaa myös muualta kuin ykkösestä:
huom. yllä pitää olla
Usein termit kirjoitetaan jonkin funktion avulla:
Esimerkkejä
Ominaisuuksia
Lineaarisuus:
Indeksin siirto:
usein on mukavampi vaihtaa samalla indeksinä käytettyä kirjainta, esim.
yllä
Eräitä summia
Joissakin erikoistapauksissa osaamme laskea summan arvon "suljetussa muodossa" eli saamme tulokseksi lausekkeen, jossa ei ole summamerkintää (tai ):
perustelut [A, s. 291-292]
esim.
Joissakin tilanteissa summa sievenee kauniisti:
Tarkista itse! Kirjoita summa auki: mitkä termit kumoutuvat?
Tällaista summaa kutsutaan "teleskooppisummaksi".
Pinta-alan laskeminen summien raja-arvona
Esimerkkejä
Laske sen tasoalueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät , , ja approksimoivien suorakaiteiden avulla.
Piirrä kuva!
Jaetaan väli tasan osaväliin:
jakopisteet , yhteensä () kpl
merkitään ,
jakovälin pituus , väliä
Lasketaan funktion arvot jakopisteissä:
Peitetään haluttu alue suorakaiteilla, joita on kpl, jokaisen leveys ja :nnen suorakaiteen korkeus
Funktio on tutkittavalla välillä kasvava, joten jokaisella osavälillä se on suurimmillaan osavälin oikeanpuoleisessa päätepisteessä.
Siis välillä käytetään suorakaidetta, jonka korkeus on , ja välillä käytetään suorakaidetta, jonka korkeus on jne.
Alueen peittävien suorakaiteiden yhteenlaskettu pinta-ala on
kun , tällä on raja-arvo ; siis kysytty pinta-ala on 9.
Yleisemmin: sen tasoalueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät , , ja , on .
(Laske itse; vastaava lasku x2 ja vähennys.)
Mikä pinta-ala on raja-arvo ja kuinka suuri se on?
Muokataan: eli summassa lasketaan yhteen kpl sellaisten suorakaiteiden pinta-aloja, joilla on leveys ja korkeus , missä , . (Siis kaikilla sama leveys, jokaisella oma korkeus.)
Siis raja-arvo on sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät , , (sekä ). Piirrä kuva.
Tämä alue on kolmio, jonka korkeus on 1 ja kanta 1; siis sen pinta-ala on .
Raja-arvo on
Lisää esimerkkejä [A, luku 5.2].
Määrätty integraali eli Riemannin integraali
Mikä oikein on jatkuvan funktion määrätty integraali yli välin , jota merkitään ?
Käytetään seuraavia merkintöjä:
välin jako
:nnen osavälin pituus (ei välttämättä tasavälinen jako)
:nnella osavälillä saavuttaa suurimman arvonsa pisteessä (ok, jatkuva)
:nnella osavälillä saavuttaa pienimmän arvonsa pisteessä (ok, jatkuva)
Määritelmiä
Funktion jakoon liittyvä yläsumma on
Funktion jakoon liittyvä alasumma on
Määrätty integraali: "jos yläsummilla ja alasummilla on yksi yhteinen raja-arvo, kun jakoa tihennetään, tämä luku on "
tällöin sanomme, että on integroituva (välillä )
suljetulla välillä jatkuva funktio on integroituva (ei todisteta)
(tällä kurssilla emme käsittele funktioita, jotka eivät ole integroituvia)
jos on integroituva, saadaan raja-arvona vaikkapa tasavälisiä jakoja tihentäen; tällä kurssilla tämä riittää
jos haluaisimme todistaa, että annettu funktio on integroituva, pitäisi olla huolellisempi.
Pinta-alatulkinta
Määrätyn integraalin (Riemannin integraalin) määritelmässä ei oletettu, että .
Jos , niin alueelle, jota rajoittavat , , ja
on "peittävien suorakaiteiden yhteispinta-ala" ja
on "sisään jäävien suorakaiteiden yhteispinta-ala" ja
näiden raja-arvona on mainitun alueen pinta-ala (määritelmä!)
Jos , niin (symmetrian nojalla) alueen, jota rajoittavat , , ja , pinta-ala on sama kuin sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat ja muuten samat käyrät;
huom: pinta-ala aina, mutta , jos välillä .
Tästä ja muista määrätyn integraalin ominaisuuksista lisää myöhemmin.
Jos vaihtaa merkkiään, luvuilla ja saati ei ole suoraa tulkintaa pinta-aloina.
Jakamalla tarkasteltava väli osiin, joissa ei vaihda merkkiään, saadaan tulkinta vastaavien osa-alueiden pinta-alojen kautta
Lasketaan osa-alueiden pinta-alat "yhteen" siten, että -akselin alapuolella olevat pinta-alat otetaan huomioon negatiivisina.
Esimerkki
koska käyrät , , ja rajaavat puolisuunnikkaan, jonka pinta-ala on ja integroitava funktio on negatiivinen välillä . (Piirrä kuva.)
koska funktio on pariton (eli kaikilla ) ja väli on symmetrinen nollan suhteen; siis -akselin ylä- ja alapuolelle jäävät alueet ovat yhtä suuret.
Huomautuksia ja nimityksiä
Merkinnässä
muuttujaa kutsutaan integroimismuuttujaksi
integroimismuuttuja ei näy tuloksessa ja voidaan vaihtaa, (kuten summausindeksi aiemmin).
lukuja ja kutsutaan integroimisrajoiksi (alaraja ja yläraja)
väli on integroimisväli
on integraalimerkki
funktio on integroitava
differentiaali on pelkkä merkintä; se kertoo, minkä muuttujan suhteen integroidaan.
Integraalin ominaisuuksia ja IVAL
Mitä "integraali" tarkoittaa?
Määrätyn integraalin ominaisuudet
Integraalilaskennan väliarvolause
Paloittain määritellyn funktion integraali
[A, 5.4]
Integraali (mitä se on)
englanniksi:
"integrate"
(vb) to make or be made into a whole
(adj.) made up of parts
"integral"
(adj.) intact, entire; formed of constituent parts; united
Arvioi lukua käyttäen funktion linearisointia kohdassa .
[A, s. 268-269]
Approksimaatiovirhe
Aina, kun suuretta approksimoidaan eli arvioidaan toisella, syntyy virhettä: eli ylläkäytetyin merkinnöin
Kuvassa on kuvaajan pisteen ja vastaavan tangenttisuoran pisteen välinen pystysuora etäisyys
pieni, kun on lähellä lukua
erityisesti pieni verrattuna lukujen ja väliseen (vaakasuoraan) etäisyyteen.
Lineaarisen approksimaation virhe
Lineaarisessa approksimoinnissa virhettä voidaan arvioida toisen derivaatan avulla: jollain tai , jos toinen derivaatta olemassa välillä, joka sisältää luvut ja .
Perustelu yleistetyn differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla [A, s. 270].
Seurauksia:
jos ei vaihda merkkiään lukujen ja välillä, niin virheen merkki tunnetaan:
jos kaikilla tai , niin
vrt. "tangenttisuora kulkee kuvaajan alapuolella", on konveksi
jos kaikilla tai , niin
vrt. "tangenttisuora kulkee kuvaajan yläpuolella", on konkaavi
jos kaikilla tai , niin
Esimerkki
Arvioi virhettä esimerkin 2 arviossa.
[A, s. 270-271]
Taylorin polynomit
Johdatteluksi:
"Linearisaatio" edellä:
"suora, joka lähellä pistettä kuvaa funktion kulkua paremmin kuin mikään muu suora"
eli paras 1. asteen polynomiapproksimaatio
pisteessä arvo on sama,
pisteessä derivaatta on sama,
Taylorin polynomit:
mikä :nnen asteen polynomi kuvaa parhaiten funktion kulkua pisteen lähellä?
pisteessä arvo on sama,
pisteessä kaikkien ensimmäisen derivaatan arvo on sama,
Määritelmä
Funktion pisteessä kehitetty Taylorin polynomi astetta on kun on riittävän siisti (eli kun on olemassa pisteen lähistöllä).
Huomautuksia
Sanotaan myös " on funktion -asteinen Taylorin polynomi pisteessä ".
Pistettä sanotaan kehityskeskukseksi.
Samalla funktiolla on eri Taylorin polynomi eri kehityskeskuksissa!
Oikeastaan pitäisi siis merkitä , mutta käytetään yksinkertaisempaa merkintää ja mainitaan kehityskeskus erikseen.
Jos on :nnen asteen polynomi, sen Taylorin polynomit "astetta " ovat itse asiassa korkeintaan :nnen asteen polynomeja.
Taylorin polynomia nollassa sanotaan myös Maclaurinin polynomiksi.
Taylorin polynomi voidaan kirjoittaa myös summamerkinnän avulla:
Esimerkkejä
Funktion kolmannen asteen Taylorin polynomi pisteessä ?
Lasketaan derivaatat: , ,
Lasketaan funktion ja derivaattojen arvot pisteessä :
Laske pisteessä funktiolle .
[A, s. 273]
Taylorin kaava
Taylorin polynomi on approksimaatio:
kuinka suuri on virhe ?
Taylorin kaava on tarkka: jollakin tai .
Huomautuksia
Taylorin kaava antaa funktiolle esityksen polynomin ja nk. jäännöstermin avulla
esitys ei siis ole enää polynomi (paitsi jos on polynomi)
esityksessä on mukana "uusi muuttuja"
Käyttö:
virhearvioinnit
Taylorin kaavalle on myös muita muotoja
eli jäännöstermille on myös muita muotoja
yllä mainittua jäännöstermin muotoa kutsutaan Lagrangen muodoksi
Esimerkkejä
Arvioi lukua käyttäen funktion toisen asteen Taylorin polynomia pisteessä . Arvioi approksimaatiossa tekemääsi virhettä ja etsi pienin (näillä tiedoilla löydettävä) väli, jolla varmasti on.
Landaun O-merkintä
Käytämme merkintää tarkoittamaan, että epäyhtälö on voimassa jollakin vakiolla