RAWTEXseuraus

Tämä luentomateriaali on tarkoitettu syksyn 2016 kurssille

Calculus 2

(matematiikan perusopinnot, 5 op). Materiaali on vielä keskeneräistä ja täydentyy kurssin aikana. Ilmoitathan löytämistäsi virheistä luennoitsijalle!

+Katso kurssiin liittyvät käytännön asiat (suorittaminen, aikataulut) kurssin kotisivulta. Linkki kotisivulle löytyy Korpista.

ENDRAWTEX

Käänteisfunktio

[A, 3.1]

Transkendenttifunktioista ja kurssin sisällöstä hiukan

Injektio

Lämmittelytehtävä

  1. Mihin potenssiin luku pitää korottaa, jotta saadaan luku ?
  2. Ratkaise yhtälöt
  3. Ratkaise yhtälöt
  4. Ratkaise yhtälöt
  5. Mieti: milloin sait yhden ratkaisun, milloin useamman?

Injektio

"Jos funktio saa saman arvon vain kerran, sitä sanotaan injektioksi."

Tarkemmin:

Sanomme, että funktio on injektio, jos eli jos kaikilla on voimassa

Esimerkkejä

  1. on injektio
  2. ei ole injektio

Käänteisfunktio

"Jos tiedän funktion arvon, tiedänkö muuttujan arvon?"

Määritelmä

Ominaisuuksia

Huom!

Esimerkkejä

  1. Osoita, että on injektio ja määrää sen käänteisfunktion lauseke.
  1. Osoita, että on injektio ja määrää sen käänteisfunktion lauseke.

Määrittelyjoukon rajoittaminen

Entä, jos ei ole injektio, kuten esim. ?

Käänteisfunktion derivointi

Esimerkki

  1. Osoita, että on injektio koko joukossa ja määritä , kun tiedetään, että .

[A, s. 169]

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

[A, 3.2-3.4]

Yleinen eksponenttifunktio

Lämmittelyksi:

Määritelmä

Funktioita missä

sanotaan eksponenttifunktioiksi.

Huomautuksia

Miten määritellään vaikkapa ?

Samalla tavalla määritellään mille tahansa .

Ominaisuuksia

Laskusäännöt

Kun , niin

Lisäksi, kun myös , on

Huomaa, että kaikki eksponenttifunktiot saavat nollassa arvon 1 (koska ).

Monotonisuus

Miten vakio vaikuttaa?

Positiivisuus

Kun , on

Raja-arvot

Kun ,

Kun ,

Jatkuvuus ja derivoituvuus

Kun , eksponenttifunktio on

Yhteenveto

Yleinen logaritmifunktio

Kun funktio on aidosti monotoninen, sillä on käänteisfunktio, jolle annamme nimen -kantainen logaritmi(funktio) ja merkinnän .

Määritelmä

Kun ja , eli "se potenssi, johon kantaluku pitää korottaa, jotta saadaan ".

Ominaisuuksia

Kun , on funktion

Siksi funktion

Kumoutuminen: ja

Laskusäännöt

Kun ja ,

Nämä seuraavat suoraan potenssien laskusäännöistä:

Lisäksi, kun myös ,

Monotonisuus

Kuten eksponenttifunktio, myös logaritmi on aidosti monotoninen:

Raja-arvot

Kun ,

Kun ,

Jatkuvuus ja derivoituvuus

Kun ja , logaritmifunktio on koko määrittelyjoukossaan jatkuva ja derivoituva funktio (derivointi myöhemmin).

Neperin luku ja eksponenttifunktio

Neperin luku

Eksponenttifunktio

Luonnollinen logaritmi

Huom:

Kertauksena aiemmasta (nyt siis kantaluku ): sekä Raja-arvot, laskusäännöt ym. ominaisuudet kuten edellä kantaluvulle .

Eksponenttifunktioiden derivointi

Logaritmifunktioiden derivointi

Ohjeita:

Eksponentiaalinen/logaritminen kasvu

Tarkemmin:

kun ,

Eksponentiaalisen kasvun/vähenemisen malleja (eli , ja vakioita) käytetään paljon niin luonnontieteessä kuin taloustieteessä ja teknisillä aloilla, esim.

Jatkuva korko

Esimerkki:

Yllä käytetään siis mallia, jossa on talletusaika (vuosina, ei välttämättä kokonaisluku) ja on talletuksen määrä ajan kuluttua, kun on talletuksen määrä hetkellä .

Arkusfunktiot

[A, 3.5]

Lämmittelyksi

Sinin käänteisfunktio

Määritelmä

Esimerkkejä

  1. , koska ja

  2. , koska ja

  3. , koska ja
  4. ei ole määritelty! ( )

  5. Sievennä
  6. Sievennä
  7. Sievennä , kun

Derivointi

Arkussinin derivaatta on

Kumoutumisesta vielä

Sini on määritelty kaikilla ja sen arvo aina.

Siispä funktio on määritelty kaikilla . Piirrä sen kuvaaja.

[A, s. 193-194]

Kosinin käänteisfunktio

Määritelmä

Derivointi

Arkuskosinin derivaatta on

Havainto

Kun , on

Tangentin käänteisfunktio

Tangenttifunktio

Määritelmä

Esimerkkejä

  1. , koska ja

Derivointi

Arkustangentin derivaatta on

Kumoutumisesta vielä:

Hyperboliset ja areahyperboliset funktiot

[A, 3.6]

Lämmittelytehtävä:

Tarkastellaan funktioita

  1. Piirrä samaan kuvaan kuvaajat ja .

  2. Millaisen kuvaajan saisit näiden funktioiden summalle ja erotukselle? Hahmottele kuvan avulla
  3. Laske

Hyperbelisini ja hyperbelikosini

Määritelmät

Ominaisuuksia

Muunnoskaavoja ja yhteys hyperbeliin

Summakaavat

ja

Arvojoukot

Mitä arvoja hyperbelisini ja hyperbelikosini saavat?

Tämä nähdään epäoleellisten raja-arvojen avulla:

Derivointi

Hyperbolinen tangentti

Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot

Koska hyperbolinen sini ja tangentti ovat aidosti kasvavia (ja siis injektioita) koko joukossa , niillä on käänteisfunktiot, joita kutsutaan nimellä areahyperbelifunktiot.

Hyperbolinen kosini ei ole injektio koko määrittelyjoukossaan, mutta kylläkin välillä . Rajoittumalla tälle välille saadaan käänteisfunktio (areahyperbelikosini).

Kuten aiemmin, käänteisfunktion määrittelyjoukko on alkuperäisen funktion arvojoukko.

Määritelmät

Lausekkeet

Derivointi

Merkinnöistä vielä

Sovelluksia ja muuta jännää

[A, 3.4, (3.7,) 4.1] (valikoiden)

Eksponentiaalinen kasvu

Alkuarvotehtävä

Esimerkki

Eräs soluviljemä kasvaa nopeudella joka on suoraan verrannollinen viljelmän kokoon. Jos soluja on alunperin 500 ja 24 tunnin kuluttua 800, kuinka monta solua viljelmässä on seuraavien 12 tunnin kuluttua (eli 36 h alkuhetkestä)?

Kaksinkertaistumis- / puoliintumisaika

Jos ja eli alkutilanteesta suure kasvaa kaksinkertaiseksi ajan kuluessa, niin eli ja eli milloin tahansa (millä hetkellä tahansa) kaksinkertaistuu saman ajan kuluessa.

Esimerkki

Erään radioaktiivisen aineen puoliintumisaika on 1200 vuotta.

  1. Kuinka suuri osa radioaktiivista ainetta on jäljellä 10 vuoden kuluttua?
  2. Kuinka pitkän ajan kuluessa radioaktiivisuus vähenee 10 prosentilla?
  1. Siis 10 vuoden jälkeen
  2. Ratkaistaan siten, että : eli

Muunnelmia

Newtonin jäähtymislaki (esim.)

"Muutosnopeus on suoraan verrannollinen erotukseen (jostain kiinteästä arvosta )"

Esimerkki

Jatkuva korko

Logistinen kasvu

Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Esimerkki

Toisistaan riippuvat muutosnopeudet

Esimerkki

Eräällä hetkellä suorakaiteen leveys on 10 cm ja pituus 8 cm. Tuolla hetkellä leveys kasvaa nopeudella 2 cm/s ja pituus vähenee 3cm/s. Kuinka nopeasti suorakaiteen pintala kasvaa/pienenee kyseisellä hetkellä?

Ohjeita

  1. Mitä tunnetaan, mitä kysytään?
  2. Piirrä kuva, jos mahdollista.
  3. Merkitse puuttuvia suureita haluamillasi symboleilla.
  4. Mieti, millainen yhtälö sitoo suureet toisiinsa.
  5. Jos kaikki suureet ovat ajan funktioita, voit derivoida yhtälön/yhtälöt ajan suhteen.
  6. Sijoita arvot, jotka tunnet.
  7. Ratkaise tuntemattomat (arvot/derivaatat).
  8. Tulkitse saamasi tulos.

Numeriikkaa

[A, 4.2]

Yhtälöiden ratkaisemisesta

Yhtälöiden numeerisia ratkaisumenetelmiä

Haarukointi / puolitushaku

[A, esimerkki 12 s. 86, "The Bisection Method"]

Kiintopistemenetelmä

Esimerkki

(Lukujonoja ja niiden suppenemista käsitellään kurssilla Calculus 3.)

Kiintopistelause

Jos on määritelty välillä ja lisäksi

  1. kaikilla sekä
  2. jollakin luvulla on kaikilla ,

niin funktiolla on täsmälleen yksi kiintopiste ja kiintopistemenetelmän jono suppenee kohti tätä lukua .

Newtonin menetelmä

"Mennään tangentin suuntaan: uusi arvaus on tangenttisuoran ja -akselin leikkaus."

Esimerkki

[A, esimerkki 3, s. 224]

Likiarvoratkaisujen tarkkuudesta

Ratkaistaan numeerisesti yhtälöä

Numeerisista menetelmistä lisää samannimisellä kurssilla (TIEA381).

Epämääräiset raja-arvotilanteet

[A, 4.3]

Lämmittelyksi

l'Hospitalin sääntö (1)

"Tilanteessa lasketaan osamäärän raja-arvo derivaattojen osamäärän raja-arvona."

Perustelu

Tarvitaan yleistetty DVAL (Calculus 1, ks. 11.4.2). Idea:

Huomautuksia

Esimerkki (yksinkertainen tapaus)

Esimerkki (säännön ketjuttaminen)

l'Hospitalin sääntö (2)

"Tilanteessa lasketaan osamäärän raja-arvo derivaattojen osamäärän raja-arvona."

Esimerkki

Huomioita ja varoituksia

Entä muut epämääräiset muodot?

Esimerkkejä

  1. Laske
  2. Laske

Ääriarvot ja funktion kulku

[A, (4.4), 4.5, 4.6, 4.8]

Funktion ääriarvot

Esimerkki

  1. Selvitä, onko funktiolla pienintä arvoa välillä .
  2. Selvitä funktion lokaalit ja globaalit ääriarvot sekä hahmottele kuvaaja. Mikä on funktion arvojoukko?

Kuperuus (eli konveksisuus)

Määritelmä ja vastaavia ehtoja

Mitä tämä tarkoittaa

Huomautuksia ja esimerkkejä

Huomautus(+)

Käännepiste

"Suoristuspiste"; kohta, jossa kuperuus muuttuu.

Määritelmä

Huomautuksia

Käännepisteiden löytäminen

Esimerkki (ääriarvot, kuperuus, käännepisteet, kuvaajan hahmottelu)

  1. Tutki funktion kulkua:

Toisen derivaatan testi

Palataan ääriarvojen selvittämiseen. Derivoituvan funktion lokaalit ääriarvot löytyvät kriittisistä pisteistä eli derivaatan nollakohdista.

Tarkemmin:

Kriittisten pisteiden laatu voidaan selvittää toisen derivaatan avulla:

Huomautuksia

Kuvaajan hahmottelusta

Asymptootit

Funktion kuvaajalla on

Esimerkkejä

  1. Etsi funktion kuvaajan asymptootit.
  2. Etsi funktion kuvaajan asymptootit.

"Muistilista"

Tehtävä: hahmottele (huolellisesti) funktion kuvaajaa.

Miksi ihmeessä?

Miksi nähdä vaivaa funktion lausekkeen ja kuvaajan yhteyksien ymmärtämiseksi, kun voin käyttää tietokonetta (tai graafista laskinta) kuvaajan piirtämiseen?

(Toki muitakin motiiveja löytyy...)

Riemannin integraali

[A, 5.1-5.3]

Lämmittelytehtävä

  1. Ota kaksi ruutupaperia.
  2. Anna 1. papereista toiselle opiskelijalle.

  3. Arvioi saamasi kuvion pinta-alaa (ruutuina):
  4. Palauta paperi lähettäjälle.
  5. Tutki piirtämäsi kuvion saamaa pinta-ala-arviota.

Pinta-alasta

Summamerkintä

Määritelmä, käsitteitä, eri muotoja

Esimerkkejä

Ominaisuuksia

Eräitä summia

Pinta-alan laskeminen summien raja-arvona

Esimerkkejä

  1. Laske sen tasoalueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät , , ja approksimoivien suorakaiteiden avulla.
  2. Yleisemmin: sen tasoalueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät , , ja , on .
  3. Mikä pinta-ala on raja-arvo ja kuinka suuri se on?

Määrätty integraali eli Riemannin integraali

Mikä oikein on jatkuvan funktion määrätty integraali yli välin , jota merkitään ?

Käytetään seuraavia merkintöjä:

Määritelmiä

Pinta-alatulkinta

Esimerkki

  1. koska käyrät , , ja rajaavat puolisuunnikkaan, jonka pinta-ala on ja integroitava funktio on negatiivinen välillä . (Piirrä kuva.)

  2. koska funktio on pariton (eli kaikilla ) ja väli on symmetrinen nollan suhteen; siis -akselin ylä- ja alapuolelle jäävät alueet ovat yhtä suuret.

Huomautuksia ja nimityksiä

Integraalin ominaisuuksia ja IVAL

[A, 5.4]

Integraali (mitä se on)

Määrätyn integraalin ominaisuuksia

Integroimisrajoista

Integraalin lineaarisuus

Integroimisväleistä

Järjestyksen säilyminen

Itseisarvoista

Symmetriasta

Esimerkkejä

  1. Laske määrätty integraali pinta-alatulkinnan ja määrätyn integraalin ominaisuuksien avulla:
  2. Laske (kuten edellä)

Integraalilaskennan väliarvolause (IVAL)

"Jatkuva funktio saavuttaa jossain keskiarvonsa."

Tarkemmin:

Funktion keskiarvo

IVAL, perustelun idea

Esimerkki

  1. Laske funktion keskiarvo välillä .

Paloittain jatkuvan funktion määrätty integraali

Paloittain jatkuva funktio

Jos funktio on määritelty välillä ja

sanomme, että on paloittain jatkuva välillä .

Paloittain jatkuvan funktion määrätty integraali

"Lasketaan jatkuvien palojen integraalit yhteen."

Esimerkki

  1. Laske , kun

Antiderivaatta, APL ja integrointitekniikoita

[A, 2.10, 5.5, 5.6]

Lämmittelytehtävä

  1. Ota kaksi paperia.
  2. Anna 2. paperi toiselle opiskelijalle.
  3. Tutki saamaasi lauseketta:
  4. Anna paperi takaisin lähettäjälle.
  5. Tutki takaisin saamaasi paperia:
  6. Mieti, mitä keinoja käytit "arvaamiseen".

Antiderivaatta

Määritelmä

Funktion antiderivaatta välillä on mikä tahansa sellainen funktio , jolle

Esimerkkejä

  1. Funktio on funktion antiderivaatta millä tahansa välillä, koska kaikilla .

  2. Funktio on funktion antiderivaatta millä tahansa välillä, koska kaikilla .

  3. Funktio on funktion antiderivaatta millä tahansa välillä, joka ei sisällä nollaa,

Yksikäsitteisyys

Huomautuksia

  1. Kaikki edellä mainittu pätee vain kullakin välillä erikseen; esim. funktion derivaatta on nolla kaikilla , mutta ei ole vakio.

Määräämätön integraali

Analyysin peruslause (APL)

Analyysin peruslauseessa oletetaan, että on jatkuva välillä .

Osa 1

Osa 2

Perustelut

Sijoitusmerkintä

Esimerkkejä

  1. Laske käyrän ja -akselin väliin jäävä pinta-ala.
  2. Laske pinta-ala, joka jää käyrän alapuolelle ja käyrän yläpuolelle suorien ja väliin.

Integroimisrajana funktio

Esimerkki

Integrointikaavoja

Integroinnin lineaarisuus

Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto

Trigonometristen funktioiden integroinnista

Tasoalueen pinta-ala

[A, 5.7]

Johdannoksi

Pinta-alasta ja määrätystä integraalista

Esimerkki

  1. Mikä on käyrien , , ja rajaaman alueen pinta-ala?

Käyrien väliin jäävän alueen pinta-ala

Tarkastellaan vain jatkuvia käyriä.

Jos käyrät eivät leikkaa

Huomautuksia

Yleisesti (käyrät voivat leikata)

Huomautuksia

Esimerkkejä

  1. Laske käyrien ja väliin jäävän alueen pinta-ala.
  2. Kuinka suuri pinta-ala jää käyrien ja väliin, kun ?
  3. Alue rajoittuu vasemmalla paraabeliin ja oikealla suoraan . Mikä on alueen pinta-ala?

Paluu derivaattaan

[A, 4.9-4.11 + muuta]

Lineaarinen approksimointi

Määritelmä

Huomautuksia

Esimerkkejä

  1. Funktion lineaarinen approksimaatio nollan lähellä:
  2. Arvioi lukua käyttäen funktion linearisointia kohdassa .

Approksimaatiovirhe

Aina, kun suuretta approksimoidaan eli arvioidaan toisella, syntyy virhettä: eli ylläkäytetyin merkinnöin

Lineaarisen approksimaation virhe

Esimerkki

  1. Arvioi virhettä esimerkin 2 arviossa.

Taylorin polynomit

Johdatteluksi:

Määritelmä

Huomautuksia

Esimerkkejä

  1. Funktion kolmannen asteen Taylorin polynomi pisteessä ?
  2. Laske pisteessä funktiolle .

Taylorin kaava

Huomautuksia

Esimerkkejä

  1. Arvioi lukua käyttäen funktion toisen asteen Taylorin polynomia pisteessä . Arvioi approksimaatiossa tekemääsi virhettä ja etsi pienin (näillä tiedoilla löydettävä) väli, jolla varmasti on.

Landaun O-merkintä